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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.3.
En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión.
- a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
a) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1$
a) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
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El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$
$\textbf{2)}$ Calculamos $f''(x)$
\( f'(x) = x^{2} + x - 6 \)
\( f''(x) = 2x + 1 \)
$\textbf{3)}$ Buscamos los puntos de inflexión de $f(x)$ igualando la derivada segunda $(f''(x))$ a cero
\( 2x + 1 = 0 \)
\( x = -\frac{1}{2} \)
Por lo tanto, \( x = -\frac{1}{2} \) es candidato a punto de inflexión
$\textbf{4)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f''(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < -\frac{1}{2} \)
b) \( x > -\frac{1}{2} \)
$\textbf{5)}$ Evaluamos el signo de \( f''(x) \) en cada uno de los intervalos:
Para \( x < -\frac{1}{2} \), podemos tomar \( x = -1 \) por ejemplo:
\( f''(-1) = -1 < 0 \)
Esto indica que \( f \) es cóncava hacia abajo en \( x < -\frac{1}{2} \).
Para \( x > -\frac{1}{2} \), podemos tomar \( x = 0 \) por ejemplo:
\( f''(0) = 1 > 0 \)
Esto indica que \( f \) es cóncava hacia arriba en \( x > -\frac{1}{2} \).
Recapitulando,
- Existe un punto de inflexión en \( x = -\frac{1}{2} \).
- \( f \) es cóncava hacia abajo para \( x < -\frac{1}{2} \)
- \( f \) es cóncava hacia arriba para \( x > -\frac{1}{2} \)