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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.3. En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión. - a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
a) f(x)=13x3+12x2−6x+1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R\mathbb{R}

2)\textbf{2)} Calculamos f′′(x)f''(x)

f′(x)=x2+x−6 f'(x) = x^{2} + x - 6
f′′(x)=2x+1 f''(x) = 2x + 1

3)\textbf{3)} Buscamos los puntos de inflexión de f(x)f(x) igualando la derivada segunda (f′′(x))(f''(x)) a cero

2x+1=0 2x + 1 = 0 x=−12 x = -\frac{1}{2}

Por lo tanto, x=−12 x = -\frac{1}{2} es candidato a punto de inflexión

4)\textbf{4)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<−12 x < -\frac{1}{2} b) x>−12 x > -\frac{1}{2}

5)\textbf{5)} Evaluamos el signo de f′′(x) f''(x) en cada uno de los intervalos:

Para x<−12 x < -\frac{1}{2} , podemos tomar x=−1 x = -1 por ejemplo: f′′(−1)=−1<0 f''(-1) = -1 < 0 Esto indica que f f es cóncava hacia abajo en x<−12 x < -\frac{1}{2} . Para  x>−12 x > -\frac{1}{2} , podemos tomar x=0 x = 0 por ejemplo: f′′(0)=1 >0 f''(0) = 1  > 0

Esto indica que f f es cóncava hacia arriba en x>−12 x > -\frac{1}{2} .

Recapitulando,

- Existe un punto de inflexión en x=−12 x = -\frac{1}{2} . - f f es cóncava hacia abajo para x<−12 x < -\frac{1}{2}   - f f es cóncava hacia arriba para x>−12 x > -\frac{1}{2}  
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